1. 引子

    這里的讀者一定不會反對：中華民族五千年整體上并不特別崇尚自然科學(xué)，也沒有深厚的研究傳統(tǒng)積淀。直到一百多年前，我國才開始引入自然科學(xué)及其研究范式。因此，要追趕甚至引領(lǐng)自然科學(xué)某個領(lǐng)域或?qū)W科，將是我們一代代人長期的使命。這種追趕即便在過去四十年獲得長足進(jìn)步，但真正要實(shí)現(xiàn)趕超估計還需要很長時間，雖然已經(jīng)有很多人開始樂觀甚至喜悅了。

    的確，對每一個學(xué)科，我國似乎在那么幾個點(diǎn)或者線上實(shí)現(xiàn)了趕超，卻依然遠(yuǎn)談不上引領(lǐng)。物理學(xué)中也有那么幾條線，我國做得還不錯。例如，量子信息中的量子密鑰算一個？凝聚態(tài)物理中的拓?fù)淞孔游锢硭阋粋€？對于拓?fù)淞孔游锢恚瑥娜S拓?fù)浣^緣體、到量子反常霍爾效應(yīng)，再到外爾（Weyl） 半金屬，及至拓?fù)淞孔硬牧系脑O(shè)計、制備和表征，中國若干團(tuán)隊表現(xiàn)出色，并在與國外同行的合作中獲益良多，開始參與良性競爭，算得上像馬拉松那樣剛剛進(jìn)入了第一方陣。這是值得欣喜的，也因此，這方面重要的進(jìn)展值得展示與推動。本文即宛若浪花一點(diǎn)，企圖映襯拓?fù)淞孔游锢硪豁梽倓側(cè)〉玫某晒?/span>

    2. 拓?fù)淞孔硬牧?/span>

    所謂拓?fù)洌臼且粋€數(shù)學(xué)概念，表示一類由系統(tǒng)整體決定而對細(xì)節(jié)不敏感的性質(zhì)。這一概念在分析幾何學(xué)時頗為有用，因此有拓?fù)鋷缀芜@樣的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。拓?fù)涓拍钸M(jìn)入到人類日常生活似乎不多見，倒不是因為它乃陽春白雪，而是因為人類日常生活大多由具體性質(zhì)組成。細(xì)節(jié)不同，結(jié)果迥異，關(guān)注如圖1 所示的差別并不能讓生活更為有趣或傷感。當(dāng)然，因為最近拓?fù)淞孔游锢眍I(lǐng)域方興未艾，這一狀況發(fā)生了巨大變化。

圖1. 什么是拓?fù)洌恐袊嗣刻旌苊β担粫ツ敲搓P(guān)注這類問題，何況還很無聊。

https://s.ecrater.com/stores/229864/4eb860bce5d91_229864n.jpg

圖2. 霍爾效應(yīng)的家族 （上）。量子霍爾效應(yīng) QHE 和量子反常霍爾效應(yīng) QAHE 的輸運(yùn)特性（下）。

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-8984/28/12/123002

https://physics.aps.org/assets/9ac4d5fc-1f30-4b5e-ab51-eba713582df7/e41_1.png

    拓?fù)溥@個概念融入到凝聚態(tài)物理，歸因于 1980 年代量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，更歸因于對這一現(xiàn)象深刻的理解。霍爾效應(yīng)家族的主要成員集成于圖2 所示。D. J. Thouless 等人開創(chuàng)性地將拓?fù)涓拍顟?yīng)用來描繪一些特殊固體的波函數(shù)及其拓?fù)湫再|(zhì)。當(dāng)然，這種拓?fù)涫轻槍恿坎ㄊ缚臻g的，而不是指實(shí)空間的拓?fù)洹＿@一嘗試自然是物理思想上的一個突破，是數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合的一大典范。由此，凝聚態(tài)中的拓?fù)湫再|(zhì)開始受到關(guān)注，洋洋灑灑三十余年積累之后，拓?fù)淞孔游锢斫K于以三位先驅(qū) D. J. Thouless、F. D. M. Haldane 和J. M. Kosterlitz 獲得2016 年諾貝爾物理學(xué)獎為契機(jī)，準(zhǔn)備飛入尋常百姓家。

    拓?fù)淞孔討B(tài)的一個重要物理現(xiàn)象即量子霍爾效應(yīng)，如圖2（下） 示。其中出現(xiàn)了一系列邊緣態(tài)，由霍爾電阻ρxy  呈現(xiàn)水平臺階來表征 （臺階高度可以是 h / e2 的整數(shù)倍或分?jǐn)?shù)倍）。每一個這樣的邊緣態(tài)都是手征的 （chiral），也就是說在磁場一定 （實(shí)際上在一定范圍內(nèi)） 的情況下，電子只能沿著樣品的邊緣往一個方向 （順時針或逆時針取決于磁場方向） 運(yùn)動。這一性質(zhì)使得這一邊緣態(tài) （如載流子運(yùn)動） 無法被雜質(zhì)或晶格振動散射到反方向運(yùn)動的量子態(tài)，即背散射被禁止。所以，流過樣品的縱向電阻ρxx  為零，如圖2 （下）所示。

    這里，我們能夠嗅到拓?fù)淞孔硬牧系膬?yōu)勢！一個好的拓?fù)洳牧希c拓?fù)洳蛔兞肯嚓P(guān)的某些性質(zhì)將會對缺陷、雜質(zhì)甚至外界刺激 （場、熱、力等） 不敏感。如果這些性質(zhì)正是實(shí)際應(yīng)用所追求的，則這些材料將大大超越現(xiàn)有材料，從而為構(gòu)建下一代新器件和新應(yīng)用提供可能。

    但是，實(shí)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)需要施加巨大外磁場，大大限制了實(shí)際器件中的應(yīng)用。為了解決這一問題，也出于物理人對量子霍爾物理的好奇，近年來一個很知名的成果是發(fā)現(xiàn)了具有時間反演對稱性的“量子自旋霍爾絕緣體 （即二維拓?fù)浣^緣體）”。這一里程碑性的工作由賓夕法尼亞大學(xué) C. L. Kane 和 E. J. Mele 以及斯坦福大學(xué)B. A. Bernevig, T. L. Hughes 和 S.C. Zhang 分別在石墨烯以及HgTe 量子阱中完成，極大地推動拓?fù)淞孔游锢沓蔀槟蹜B(tài)物理的前沿和主流。這一新效應(yīng)且示于圖3。

圖3.（A） 拓?fù)浣^緣體的體內(nèi)和表面輸運(yùn)機(jī)制。（B） 二維拓?fù)浣^緣體邊緣態(tài)的輸運(yùn)行為。

https://www.ntt-review.jp/archive/ntttechnical.php?contents=ntr201707fa6.html

http://www.fz-juelich.de/SharedDocs/Bilder/PGI/PGI-9/EN/Aktuelles/VITI-2012-EN.jpg?__blob=poster

    在二維拓?fù)浣^緣體中，金屬邊緣態(tài)之自旋 - 動量被鎖定，因此邊緣態(tài)輸運(yùn)可以不受非磁性雜質(zhì)的散射，無耗散傳輸?shù)靡詫?shí)現(xiàn)。這一特性無論是從基礎(chǔ)科學(xué)還是從實(shí)際應(yīng)用角度都是令人激動的，這也是為什么這類體系會成為物理、材料以及電子信息領(lǐng)域前沿的原因之一。

    隨后的工作揭示拓?fù)浣^緣體并不局限于二維。2009 年，中科院物理所方忠、戴希研究組預(yù)言：在強(qiáng)自旋-軌道耦合下，Bi2Se3 是受時間反演對稱保護(hù)的三維拓?fù)浣^緣體。這一體系廣受關(guān)注，時至今日，依然是最受關(guān)注的三維拓?fù)浣^緣體。對三維拓?fù)浣^緣體進(jìn)行磁性摻雜，清華大學(xué)薛其坤成功觀測到量子反常霍爾效應(yīng)。這些重要結(jié)果使得三維拓?fù)浣^緣體和喪失了時間反演對稱的磁性拓?fù)浣^緣體都走入拓?fù)淞孔游锢淼那把兀袊锢砣嗽谕負(fù)淞孔游锢眍I(lǐng)域的工作受到關(guān)注并開始在某些方向上引領(lǐng)未來。

    在拓?fù)淞孔游锢淼牧硪粭l戰(zhàn)線上，中國物理人表現(xiàn)也不錯。2011 年，南京大學(xué)萬賢綱與合作者理論預(yù)言了外爾 （Weyl） 半金屬態(tài)，并揭示其特有的表面態(tài)----費(fèi)米弧。所謂費(fèi)米弧，是指外爾半金屬表面態(tài)的費(fèi)米面不是閉合的，而是一開放線段。這一開放線段連通兩個手性相反的 Weyl 點(diǎn)于表面上的投影。這一理論工作將拓?fù)涞母拍钣山^緣體推廣到金屬體系，觸發(fā)外爾半金屬物理研究成為凝聚態(tài)物理的前沿領(lǐng)域，涌現(xiàn)了許多漂亮的工作。需要特別指出的是，麻省理工學(xué)院的付亮揭示出晶格對稱性顯著影響電子的拓?fù)湫再|(zhì)，對拓?fù)淞孔游锢眍I(lǐng)域發(fā)展有重要貢獻(xiàn)。

    3. 難為無米炊

    目前，已經(jīng)預(yù)言和實(shí)驗發(fā)現(xiàn)了若干拓?fù)淞孔討B(tài)，主要包括三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體和弱拓?fù)浣^緣體、鏡面陳絕緣體、高階拓?fù)浣^緣體、Dirac / Weyl 半金屬、節(jié)線型拓?fù)浒虢饘佟⒍嘀睾啿①M(fèi)米子態(tài)、Hourglass 費(fèi)米子態(tài)等。此等名詞紛繁，令人眼花繚亂、目不暇接。這些拓?fù)洳牧暇哂谐Ｒ?guī)材料所沒有的奇特物性，譬如拓?fù)浔Ｗo(hù)邊界態(tài)、手征反常、費(fèi)米弧等，可以預(yù)期在下一代電子、信息及至能源領(lǐng)域有很大應(yīng)用潛力。事實(shí)上，過去十多年來，這些對材料的缺陷、雜質(zhì)細(xì)節(jié)不敏感的拓?fù)淞孔硬牧蠈⒃絹碓匠蔀榛A(chǔ)科學(xué)及工程應(yīng)用領(lǐng)域的前沿課題與追求。

    總而言之，拓?fù)淞孔硬牧涎芯窟^去近十年可謂熱火朝天，高等級成果層出不窮。然而，好的拓?fù)淞孔硬牧蠀s并不多，甚至可以說已經(jīng)預(yù)言和實(shí)驗證實(shí)的拓?fù)淞孔雍貌牧线€很少。時至今日，還沒有一種真正具有應(yīng)用潛力的材料被預(yù)言或合成出來。諸如二維 / 三維拓?fù)浣^緣體、外爾半金屬等已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的那些材料，其拓?fù)淞孔討B(tài)都是在非常極端的條件下 （超低溫、超高場、超高難度制備） 才能觀測到，更別說去應(yīng)用這些拓?fù)淞孔討B(tài)的性質(zhì)了。

    這一發(fā)展態(tài)勢和現(xiàn)狀給我們一個“錯覺”：自然界中拓?fù)淞孔硬牧虾苌伲恳粋€都是珍稀品種。這樣一來，一方面，物理人對每一個被發(fā)現(xiàn)或預(yù)言的新體系都給予關(guān)注，無論它有沒有潛在應(yīng)用價值。另一方面，到目前為止的結(jié)果展示好的材料實(shí)在是不多，那么這個領(lǐng)域未來的發(fā)展是否又會呈現(xiàn)“興而勃焉、衰而忽焉”的模式？過去幾百年，自然科學(xué)有太多這樣的領(lǐng)域經(jīng)歷這樣的故事：興旺以春風(fēng)、消失以寒流。

    有鑒于此，物理人面臨的首要任務(wù)便是能夠找到更多的拓?fù)淞孔硬牧希⒛軌驅(qū)@些材料的拓?fù)淞孔討B(tài)性質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確可靠判斷，從而找到性能好、使用溫度高、制備簡單和價格便宜的新材料體系，以滿足付諸實(shí)際應(yīng)用的要求。這既是拓?fù)淞孔硬牧项I(lǐng)域發(fā)展的需要，更是其盡快走向應(yīng)用的法門。

    4. 尋找出路

    現(xiàn)代材料科學(xué)經(jīng)過近百年的發(fā)展，積累了龐大而繁雜的材料數(shù)據(jù)庫 （無機(jī)材料數(shù)據(jù)庫收集了迄今為止已經(jīng)生長出來的約20 萬個材料體系）。尋找更多的拓?fù)淞孔硬牧希活惛行У膽?zhàn)略便是在這一龐大數(shù)據(jù)庫中進(jìn)行判斷篩選。要完成這項任務(wù)，物理人首先要找到一種方法，理論或者實(shí)驗方法都行，以便能夠快速方便地判定一種材料是不是拓?fù)淞孔硬牧稀＿@是第一步，無它一切便無從談起！

    一般而言，不同的拓?fù)淞孔討B(tài)可以用不同的拓?fù)洳蛔兞縼砻枋觯虼舜_定一個材料體系電子結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳蛔兞渴桥袛嗥渫負(fù)湫再|(zhì)的核心。或者說，已有的尋找思路是：根據(jù)物理或化學(xué)經(jīng)驗，分析選取可能的候選材料，然后進(jìn)行計算或?qū)嶒炓郧蟮媚硞€拓?fù)洳蛔兞浚袛噙@是一個什么類型的拓?fù)淞孔硬牧稀＿z憾的是，實(shí)驗判定拓?fù)洳蛔兞吭诩夹g(shù)上面臨很大挑戰(zhàn)，這容易理解。拓?fù)洳蛔兞浚缤負(fù)潢悢?shù)，一般是由能帶結(jié)構(gòu)的積分而來。實(shí)驗中要得到一個材料完整的能帶結(jié)構(gòu)不是一件容易的事，雖然并非不可能。而確定波函數(shù)的相位難度則更大。物理人糾結(jié)斟酌的最后結(jié)果：這一領(lǐng)域的一大特點(diǎn)就是通過基于密度泛函理論的第一性原理方法理論計算某個拓?fù)洳蛔兞縼眍A(yù)言拓?fù)淞孔硬牧希缓蟛攀潜唤欠直婀獍l(fā)射譜、輸運(yùn)測量等實(shí)驗來“部分”證實(shí)。說“部分”是因為諸如角分辨能譜技術(shù)也不能給出整個能帶的全貌！這一特點(diǎn)昭示出拓?fù)洳蛔兞康挠嬎阍谕負(fù)淞孔硬牧涎芯恐械闹匾浴?/span>

    但是，通過直接計算拓?fù)洳蛔兞縼砼袛嘁粋€體系拓?fù)湫再|(zhì)的方法并不是沒有問題的。過去的經(jīng)驗表明這一方法顯示出很大局限性：

    （1） 計算拓?fù)洳蛔兞客ǔＰ枰M(jìn)行基于波函數(shù)的積分，這一計算工作量極大。

    （2） 對一材料，需要對所有的拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行計算，才能確定其拓?fù)湫再|(zhì)。這一“所有”也帶來很大的工作量。

    總之，上述兩大局限性導(dǎo)致現(xiàn)行計算方法的效率較低。雖然十多年時間過去了，成效不明顯。當(dāng)然，物理人天生不安分，對這種狀況自然不大滿意，因此開始探索一些理論方案和高效計算方法來推進(jìn)尋找拓?fù)淞孔硬牧稀＠碚撗芯拷沂荆褂秒娮颖徽紦?jù)能帶在布里淵區(qū)中高對稱點(diǎn)的不可約表示，可以大大簡化拓?fù)洳蛔兞康挠嬎恪Ｒ粋€非常成功的例子就是Fu - Kane 判據(jù)：利用宇稱就能迅速得到具有中心反演對稱的非磁材料之Z2不變量。隨著研究的深入，物理人逐漸認(rèn)識到，通過分析材料體系實(shí)空間和倒空間的不匹配（mismatch） 看起來是判斷拓?fù)淞孔討B(tài)的更好途徑之一。

    沿著這一思路，國際上有幾個研究組做出了很有價值的努力，這里梳理其中兩個研究組的工作簡單點(diǎn)評：

    （1） 2017年，普林斯頓大學(xué)Bernevig 研究組基于拓?fù)淞孔踊瘜W(xué)的觀點(diǎn)，發(fā)展了圖理論。筆者不才，無法用平常語言簡短概述這一圖理論奇妙之處，但大概思路是這樣：通過引入“基本能帶表示”（elementary band  representations），即可由局域原子狀的瓦尼爾 （wannier） 軌道組成能帶的最小集合。將拓?fù)浞瞧接沟哪軒ЫY(jié)構(gòu)所具有的高對稱點(diǎn)形態(tài)和構(gòu)型進(jìn)行分類與簡約化，最終可以約化出10,403 個“基本能帶表示”，即能帶結(jié)構(gòu)“圖形”作為基元。由此，對任何一個材料，只要將其能帶結(jié)構(gòu)與這些基元進(jìn)行比較，就可以判定材料的拓?fù)湫再|(zhì)。與之前單一積分計算拓?fù)洳蛔兞勘容^，這是很大的進(jìn)步。

    （2） 哈佛大學(xué)Vishwanath 研究組基于商群的方法，也發(fā)展出一種對任意空間群中所有可能的拓?fù)淞孔討B(tài)進(jìn)行理論分類的架構(gòu)。Vishwanath 教授畢竟非等閑之輩，他們發(fā)展的這一分類方法有獨(dú)到之處，為發(fā)展判定拓?fù)湫再|(zhì)的新方法提供了堅實(shí)基礎(chǔ)。

    圖4. 萬賢綱等人的理論方案。（a） 給出230 個空間群所對應(yīng)的原子絕緣體基組。（b） 計算材料體系的電子能帶結(jié)構(gòu)，并求出其占據(jù)態(tài)在布里淵區(qū)不同高對稱點(diǎn)不可約表示的占據(jù)情況。（c） 將上一步得到的材料不同不可約表示的占據(jù)情況用原子絕緣體基組進(jìn)行線性展開得到系數(shù)q。根據(jù)展開系數(shù)q 是否是整數(shù)來判定體系是否為拓?fù)洳牧稀?/span>

    5. 新的方案

    最近，南京大學(xué)物理學(xué)院萬賢綱課題組與哈佛大學(xué)Ashvin Vishwanath 課題組合作，發(fā)展出一套高效預(yù)測拓?fù)洳牧系睦碚摲桨浮＿@一方案具有兩個鮮明特點(diǎn)：理論方法新、實(shí)際搜索效率高速度快。

    這一理論方案的主要創(chuàng)新點(diǎn)在于通過與“原子絕緣體”比較來判定一個體系的拓?fù)湫再|(zhì)，整個思路如圖4 所示。該方案分為三個步驟：

    （1） 對任意空間群構(gòu)造對應(yīng)的“原子絕緣體基組”。這一步驟主要精神是“原子絕緣體”（即可絕熱轉(zhuǎn)變到原子極限的體系）。對某一選定的空間群，列出其所有 Wyckoff 位置上對應(yīng)位群的不同不可約表示，并用其組成能帶。注意到，這一能帶在該空間群的布里淵區(qū)中有一些高對稱點(diǎn)，如果分析這些高對稱點(diǎn)little 群之不可約表示占據(jù)情況，就可以得到該空間群對應(yīng)的“原子絕緣體基組”。由此，屬于此空間群的任何原子絕緣體，均可借助該“原子絕緣體基組”線性組合而得到。

    值得指出的是，構(gòu)造“原子絕緣體基組”這一步驟運(yùn)算非常快，在個人筆記本電腦上使用Mathematica 軟件，可在半小時內(nèi)完成所有230 個非磁空間群的“原子絕緣體基組”構(gòu)建。

    這里所謂“原子絕緣體基組”，包含了指定空間群的布里淵區(qū)中所有高對稱點(diǎn)的對稱信息。其原子絕緣體基矢的公因子提供了一個基于對稱性的完備拓?fù)浞诸悺＠纾绻骋辉咏^緣體的基矢具有公因子 2，則對絕緣體而言，相應(yīng)的展開系數(shù)必然為 n 或 1/2 + n′，其中n、n′為整數(shù)。前者對應(yīng)平庸的情形，后者對應(yīng)拓?fù)?（晶體） 絕緣體。

    （2） 用第一性原理計算方法，計算占據(jù)態(tài)布里淵區(qū)中高對稱點(diǎn)不可約表示的情況。這一步驟花費(fèi)的時間主要用在對材料進(jìn)行常規(guī)能帶計算。完成能帶計算后，對給出的占據(jù)能帶在布里淵區(qū)中高對稱點(diǎn)的進(jìn)行群操作，可以很快求出占據(jù)態(tài)在各個高對稱動量點(diǎn)的不可約表示情況。

    （3） 將得到的高對稱點(diǎn)不可約表示用該材料對應(yīng)空間群的“原子絕緣體基組”展開。如果展開系數(shù)是非整數(shù)，說明這一體系不可能在保持對稱性情況下連續(xù)變化到原子絕緣體極限。根據(jù)展開系數(shù)是否為有理分?jǐn)?shù)，還可判斷材料是拓?fù)浣^緣體、拓?fù)渚B(tài)絕緣體、拓?fù)浣饘俚韧負(fù)漕愋汀?/span>

    這一理論方案有兩個優(yōu)點(diǎn)：

    （a） 高效：該方法基于“原子絕緣體基組”，通過對比判斷一個物理體系是否可以退化到“原子絕緣體”來判定其拓?fù)湫再|(zhì)。用通俗的語言表述，就是：通過檢查計算輸出的一個數(shù)是否是整數(shù)，來判斷該體系是否為拓?fù)洳牧稀?/span>

    這一方案花費(fèi)的計算量就是步驟 （2） 中的能帶計算，無需去計算耗時費(fèi)力的各種拓?fù)洳蛔兞浚矡o需具體分析能帶走向的相容性原理，因此計算量大幅減少。在完成能帶計算后，只需要判定輸出的一個基組展開系數(shù)是否為整數(shù)，即可判斷是否具有拓?fù)涮匦?hellip;…該方案也具有很好的可操作性 （也就是說，該方案不僅計算工作量小，判斷是否拓?fù)涞呐袚?jù)也直接明了，非常方便）。

    （b） 普適：值得指出的是，任意一個非磁材料，均屬于230 個空間群之一個。所有具有時間反演對稱的材料 （即非磁材料） 均可用該方案判斷。此外，該方案既可用于二維、亦可用于三維，可以考慮自旋-軌道耦合、也可不考慮自旋-軌道耦合，既可用于滿足時間反演對稱的非磁性系統(tǒng)、亦可處理時間反演對稱破缺的磁性體系。此乃所謂普適性。

    這一理論方案還具有新穎的物理內(nèi)涵，改變了人們尋找拓?fù)淞孔芋w系的方式。例如，通過尋找Z4 群中非平庸系數(shù)為2 的材料體系，可以預(yù)言一系列目前尚算罕見的高階拓?fù)浣^緣體體系。特別是，屬于11 號空間群的β相 MoTe2，它具有2 度螺旋保護(hù)的鉸鏈態(tài)。這一預(yù)言已被后續(xù)研究證實(shí)。屬于 12 號空間群的BiBr 體系，它分別具有2 度螺旋保護(hù)的鉸鏈態(tài)和2 度旋轉(zhuǎn)保護(hù)的狄拉克表面態(tài)。這一預(yù)言也正得到實(shí)驗高度關(guān)注。

圖5. 對無機(jī)材料庫進(jìn)行拓?fù)浞诸惖慕y(tǒng)計圖：其中淺橙色、黃色、綠色區(qū)域的材料是人們關(guān)心的拓?fù)洳牧希痪G色區(qū)域的材料在費(fèi)米面附近具有對稱性保護(hù)的能帶交點(diǎn)，通常被歸類為拓?fù)浒虢饘佟?/span>

    6. 萬水千山

    最近，基于這一種高效搜索方法，萬賢綱及其合作者對無機(jī)材料數(shù)據(jù)庫中所有合適的非磁材料的拓?fù)浞诸惗紥呙枇艘槐椤Ｖ饕嬎愎ぷ魇窃谝慌_有28 個計算節(jié)點(diǎn)、每一計算節(jié)點(diǎn)有32 個核心的刀片集群上完成，所花時間約一個月，只有少數(shù)原胞很大的體系使用了教育部2011 計劃“人工微結(jié)構(gòu)科學(xué)與技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心”計算集群來計算。計算結(jié)果匯總于圖5。

    計算結(jié)果和梳理工作揭示，自然界中拓?fù)洳牧喜⒉簧衩兀鋵?shí)有很多，甚至可以用“隨處可見、信手拈來”來形容。看君有興趣，可以到訪網(wǎng)站 （http://ccmp.nju.edu.cn/），那里有萬賢綱們預(yù)言的10897 種拓?fù)洳牧希êM(fèi)米能級附近有能帶交點(diǎn)的體系）之晶體結(jié)構(gòu)、電子能帶等數(shù)據(jù)，以供同行參考與研究。在該網(wǎng)站，只要輸入材料信息，進(jìn)行搜索，就能迅速得到這個材料是否為拓?fù)洳牧稀Ｅc此同時，萬賢綱們還挑選了近1000 個費(fèi)米面比較干凈的體系作為精華，希冀同行們能夠在未來于這些體系中挖掘出適合實(shí)際應(yīng)用的理想拓?fù)洳牧稀?/span>

    這一大規(guī)模搜索工作一經(jīng)公布，即被 Nature 期刊所關(guān)注。該刊于 2018 年 8 月 8 日（888、華人會說是好日子！） 在其News 欄目，以“Trove of exotic matter thrills physicists （新穎材料的寶庫使物理學(xué)家興奮不已）”為題，對本工作及另外兩個研究組（來自普林斯頓大學(xué)和中科院物理所）的相關(guān)工作進(jìn)行報道。

    報道以“For the first time, researchers have systematically scoured through entire databases of materials in search of ones that harbor topological states – exotic phases of matter that have fascinated physicists for a decade （研究人員首次系統(tǒng)地搜尋了整個材料數(shù)據(jù)庫，以尋找具有拓?fù)錉顟B(tài)的材料 —— 這些奇異的物相已經(jīng)吸引了物理學(xué)家十年）”開頭，指出“But despite a decade of study, physicists have yet to find a topological insulator that has properties suitable for use in devices —— for example, a material that is easy to grow, non-toxic and with tunable electronic states at room temperature （雖然經(jīng)過了10 多年的研究，但物理學(xué)家們還沒有發(fā)現(xiàn)任何一類適合在器件上應(yīng)用的拓?fù)浣^緣體，比如具備易生長、非毒性以及室溫可調(diào)電子態(tài)的材料）”。因此，該報道認(rèn)為“The resulting haul of topological materials could bring scientists closer to practical applications for these exotic phases, which could revolutionize electronics and catalysis （由此發(fā)現(xiàn)的大量拓?fù)洳牧夏苁箍茖W(xué)家更接近于這些奇異相的實(shí)際應(yīng)用，這可能引發(fā)電子學(xué)等領(lǐng)域的革命）”。Nature的編輯進(jìn)一步援引瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院O. Yazyev 教授的話：“我們知道具有奇特性質(zhì)的材料越多，就越有可能取得突破”。

    有趣的是，Nature 期刊并非經(jīng)常對未經(jīng)同行正規(guī)評審的學(xué)術(shù)文章進(jìn)行點(diǎn)評，這也從一個側(cè)面展示了這些成果的潛在沖擊力與影響力。

    這一大規(guī)模搜索工作最近以“Comprehensive search for topological materials using symmetry indicators”為題在線發(fā)表于Nature 第 566 卷 486 - 489 頁上 （https://www.nature.com/articles/s41586-019-0937-5）。該工作所采用的相關(guān)理論方法也在不久前（2019 年 2 月 12 日） 于Nature Physics上發(fā)表（https://www.nature.com/articles/s41567-019-0418-7）。這篇 Nature 文章的姊妹篇，即有關(guān)高階symmetry - indicator 因子群 （Z8和Z12 ） 的工作也將于近期刊登于高水平學(xué)術(shù)期刊。很顯然，一項從理論方法到大規(guī)模應(yīng)用的系統(tǒng)性工作之不同側(cè)面均能夠同時受到這些刊物的關(guān)注和欣賞，也算不易，值得祝賀。

    與這一系列工作同期，中科院物理所的方忠、方辰、翁紅明團(tuán)隊，還有美國普林斯頓Bernevig 團(tuán)隊，利用不同方法也完成了對無機(jī)材料數(shù)據(jù)庫的搜索，預(yù)言了幾千種拓?fù)洳牧稀Ｋ麄兯阉魍負(fù)洳牧系牧鞒谭謩e如圖 6、圖7 所示，相關(guān)文章也分別發(fā)表在Nature 上。這也昭示出在拓?fù)湫虏牧侠碚撛O(shè)計方面中國科研團(tuán)隊的地位。

圖6. 中科院物理所團(tuán)隊之拓?fù)洳牧纤阉魉惴ǎ菏紫葯z查高對稱點(diǎn)有無能帶交點(diǎn)。如果沒有，再檢查高對稱線上的相容性原理。如果相容性原理不被滿足，則在對稱線上有能帶交點(diǎn)；如果滿足，再計算symmetry indicator （即圖中的IND），去判斷具體是屬于拓?fù)浣^緣體（TI）、拓?fù)渚w絕緣體（TCI） 還是平庸絕緣體。

圖7. 普林斯頓團(tuán)隊拓?fù)洳牧纤阉魉惴ǎ豪玫谝恍栽碥浖ASP 的結(jié)果計算高對稱點(diǎn)對稱操作的特征標(biāo)，然后判斷相容性原理是否滿足：如果不滿足就是對稱性保護(hù)的半金屬，否則根據(jù)基于“拓?fù)淞孔踊瘜W(xué)”的10403 個EBR （基本能帶表示） 的分類去判斷是否是拓?fù)浞瞧接沟慕^緣體：無法表示為EBR 的組合，就是拓?fù)浞瞧接沟慕^緣體。

    7. 后記

    萬賢綱他們的這一系統(tǒng)性工作之第一作者均為南京大學(xué)物理學(xué)院及南京微結(jié)構(gòu)國家實(shí)驗室實(shí)驗班的博士研究生唐峰，通訊作者均為萬賢綱，第一完成和通訊單位均為南京大學(xué)。第三作者乃哈佛大學(xué)Ashvin Vishwanath 教授，第二作者為Vishwanath 教授的博士生Hoi Chun Po （傅凱駿）。

    這項工作乃萬賢綱與合作者在 2011 年提出外爾半金屬 （Weyl semimetal） 概念的八年后完成，其學(xué)術(shù)影響和價值需要同行、時間和實(shí)驗技術(shù)等方面去檢驗。筆者無意褒獎或貶低一項剛剛發(fā)表的工作，但萬賢綱們審時度勢、密切關(guān)注那些重要的emerging issues，這種狀態(tài)是值得贊許的。

    毫無疑問，這一即便包含了三篇文章的工作，看起來也只是拓?fù)淞孔游锢黹L河中之一波浪，依然有很多及至?xí)嗟膯栴}衍生出來。筆者不才，信手拈來幾條：

    （1） 原來以為拓?fù)淞孔硬牧虾苌伲F(xiàn)在看起來卻是太多。無機(jī)材料數(shù)據(jù)庫中拓?fù)浞瞧接沟姆谴朋w系就有10000 多種，即便萬賢綱們經(jīng)過對費(fèi)米面“干凈美麗”的程度進(jìn)行篩選，依然有1000 多種。物極必反，對應(yīng)用而言，這未必是好事。

    （2） 這么多拓?fù)浞瞧接贵w系，意味著僅僅用拓?fù)洳蛔兞縼韰^(qū)分材料性質(zhì)已然不夠，顯然需要更深層次的物理來研究這些體系。過去幾年發(fā)現(xiàn)的“三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體、鏡面陳絕緣體、……、Hourglass 費(fèi)米子態(tài)”就已經(jīng)太過眼花繚亂了，這未必是好現(xiàn)象。雖然物理人可以優(yōu)哉游哉做出更多浪花來，但“多”意味著平庸、“多”意味著宏觀，物理人還需要抽絲剝繭、夜以繼日。

    （3） 這一系列工作并未觸及應(yīng)用上一些根本性的問題：溫度問題、穩(wěn)定性問題等。這些問題對材料搜索方法的要求又上了一個層次，需要有針對性、有具體目標(biāo)地去挑選材料、調(diào)控材料、優(yōu)化材料。一日征程、綢繆萬里，拓?fù)淞孔游锢硭坪跻蜻@些重要進(jìn)展而變得更加開放與未知。

    The last but not the least，這一系列工作得到了教育部2011計劃“人工微結(jié)構(gòu)科學(xué)與技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心”、南京大學(xué)卓越研究計劃、固體微結(jié)構(gòu)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗室、國家重點(diǎn)研發(fā)計劃、國家自然科學(xué)基金的支持。在此一并致謝！看君如若有興趣御覽工作之細(xì)節(jié)，可點(diǎn)擊文尾的“閱讀原文”，一探究竟！

    備注：

    （1） 題頭小詞改寫自Ising的《蘇幕遮@晚秋》，隱晦表達(dá)十年磨一劍的物理人之工作狀態(tài)。文中得罪和挪喻之語歸于Ising，與筆者無關(guān)。

    （2） 封面圖片來自：

    Nature 560, 151-152 （2018） （https://www.nature.com/articles/d41586-018-05913-4），展示了計算機(jī)模擬得到的拓?fù)浣^緣體中量子波干涉圖案。此文正是評價包括這一系列工作在內(nèi)的三項工作的那篇NatureView。

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責(zé)任編輯：殷鵬飛

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